!!abstract,linked gloses,internal links,content,dynamic examples,...
!set gl_author=Euler, Acadmie de Versailles
!set gl_keywords=real_function,convexity,derivative,tangent,function_variation
!set gl_title=Convexit
!set gl_level=H6 Gnrale&nbsp;Spcialit, H6 Gnrale&nbsp;Complmentaire
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<div class="wims_defn">
<h4>Dfinition</h4>
Le plan est muni d'un repre orthogonal <span style="white-space:nowrap">
\((\mathrm{O}\,;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\).</span><br>
Soit \(\mathrm{I}\) un intervalle de \(\displaystyle{\RR}\) et soit \(f\) une
fonction drivable sur l'intervalle <span style="white-space:nowrap">
\(\mathrm{I}\).</span><br>
On note \(C\) la courbe reprsentative de la fonction \(f\) dans le repre
<span style="white-space:nowrap">
\((\mathrm{O}\,;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\).</span><br>
La fonction \(f\) est dite <strong>convexe sur \(\mathrm{I}\)</strong> si et
seulement si sa courbe reprsentative \(C\) est entirement situe au-dessus de
chacune de ses tangentes.<br>
La fonction \(f\) est dite <strong>concave sur \(\mathrm{I}\)</strong> si et
seulement si sa courbe reprsentative \(C\) est entirement situe en dessous de
chacune de ses tangentes.
</div>
<div class="wims_rem">
<h4>Remarque</h4>
Une fonction qui n'est pas convexe sur \(\mathrm{I}\) n'est pas ncessairement
concave sur <span style="white-space:nowrap">\(\mathrm{I}\).</span>
</div>
<div class="wims_thm">
<h4>Thorme</h4>
Soit \(\mathrm{I}\) un intervalle de \(\displaystyle{\RR}\) et soit \(f\) une
fonction drivable sur l'intervalle
<span style="white-space:nowrap">\(\mathrm{I}\).</span><br>
La fonction \(f\) est convexe sur \(\mathrm{I}\) si et seulement si sa fonction
drive \(f^'\) est croissante sur <span style="white-space:nowrap">
\(\mathrm{I}\).</span><br>
La fonction \(f\) est concave sur \(\mathrm{I}\) si et seulement si sa fonction
drive \(f^'\) est dcroissante sur <span style="white-space:nowrap">
\(\mathrm{I}\).</span>
</div>

<div class="wims_thm">
<h4>Thorme</h4>
 Soit \(\mathrm{I}\) un intervalle de \(\displaystyle{\RR}\) et soit \(f\) une
 fonction deux fois drivable sur l'intervalle <span style="white-space:nowrap">
 \(\mathrm{I}\).</span><br>
La fonction \(f\) est convexe sur \(\mathrm{I}\) si et seulement si sa fonction
drive seconde \(f^''\) est positive sur <span style="white-space:nowrap">
\(\mathrm{I}\).</span><br>
La fonction \(f\) est concave sur \(\mathrm{I}\) si et seulement si sa fonction
drive seconde \(f^''\) est ngative sur <span style="white-space:nowrap">
\(\mathrm{I}\).</span>
</div>
