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!set gl_author=Euler, Acadmie de Versailles
!set gl_keywords=arithmetic
!set gl_title=PGCD (Plus Grand commun diviseur) de deux entiers naturels non nuls
!set gl_level=H3 Cycle4
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<div class="wims_defn"><h4>Dfinition 1</h4>
Soit \(a\) et \(b\) deux entiers naturels non nuls.<br/>
Le <strong>PGCD</strong> de \(a\) et \(b\) est le plus grand des diviseurs communs  \(a\) et  \(b\):
.</div>

<div class="wims_rem">
Si \(b\) est un diviseur de \(a\), alors le PGCD de \(a\) et \(b\) est gal  \(b\).</div>
<div class="wims_defn"><h4>Dfinition 2</h4>
Soit \(a\) et \(b\) deux entiers naturels non nuls.<br/>
Si le PGCD de \(a\) et \(b\) est gal  1, on dit que \(a\) et \(b\) sont <strong>premiers entre eux</strong>.</div>
<div class="wims_rem"><h4>Mthodes de dtermination du PGCD \(d\)
de deux entiers naturels non nuls \(a\) et \(b\) :</h4>
<ul>
<li>on dtermine l'ensemble des diviseurs de \(a\) et l'ensemble des diviseurs de \(b\) ; \(d\) est le plus grand lment commun  ces deux ensembles ;</li>
<li> par l'<strong>algorithme d'Euclide</strong> : on effectue la division euclidienne de \(a\) par \(b\) (si <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mi>a</mi>
  <mo>&#8805;</mo>
  <mi>b</mi>
 </mrow>
</math>), puis la division euclidienne de \(b\) par le reste obtenu, puis celle de ce reste par le second reste obtenu, et ainsi de suite ; aprs un nombre fini d'tapes, on obtient un reste nul ; \(d\) est le dernier reste non nul ;</li>
<li>on dcompose chacun des deux entiers \(a\) et \(b\) en produit de nombres premiers ; \(d\) est gal au produit des nombres premiers communs aux deux dcompositions, chacun d'eux tant affect du plus petit des deux exposants.</li></ul>
<div class="wims_thm"><h4>Thorme</h4>
Soit \(a\) et \(b\) deux entiers naturels non nuls.<br/>
L'ensemble des diviseurs communs  \(a\) et  \(b\) est l'ensemble des diviseurs de leur PGCD.</div>
<div class="wims_thm"><h4>Consquence</h4>
Tout diviseur commun aux deux entiers \(a\) et \(b\) divise leur PGCD.
</div>
