!!abstract,linked gloses,internal links,content,dynamic examples,...
!set gl_author=Euler, Acadmie de Versailles
!set gl_keywords=complex_number
!set gl_title=Module d'un nombre complexe
!set gl_level=H5 STI2D STL, H6 S
:
:
:
:
<div class="wims_defn"><h4>Dfinition</h4>
Le plan complexe est muni d'un repre orthonormal <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mo>(</mo>
  <mrow>
   <mrow>
    <mi fontstyle='normal'>O</mi>
    <mo>;</mo>
    <mover>
     <mi>u</mi>
     <mo>&#8594;</mo>
    </mover>
   </mrow>
   <mo>,</mo>
   <mover>
    <mi>v</mi>
    <mo>&#8594;</mo>
   </mover>
  </mrow>
  <mo>)</mo>
 </mrow>
</math>.<br/>
Soit \(z\) un nombre complexe et \(M\) le point d'affixe \(z\).<br/>
On appelle <strong>module</strong> de \(z\) le nombre rel,
not <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mo>|</mo>
  <mi>z</mi>
  <mo>|</mo>
 </mrow>
</math>, dfini par :
<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mrow>
    <mo>|</mo>
   <mi>z</mi>
    <mo>|</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mi>OM</mi>
 </mrow>
</math>.
</div>

<div class="wims_thm"><h4>Consquences</h4>
<ul><li>Pour tout <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mi>z</mi>
  <mo>&#8712;</mo>
  <mi>&#8450;</mi>
 </mrow>
</math>, <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mrow>
    <mo>|</mo>
   <mi>z</mi>
    <mo>|</mo>
  </mrow>
  <mo>&#8805;</mo>
  <mn>0</mn>
 </mrow>
</math>.</li>
<li><math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mrow>
   <mo>|</mo>
   <mi>z</mi>
   <mo>|</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mn>0</mn>
 </mrow>
</math> si et seulement si
<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mi>z</mi>
  <mo>=</mo>
  <mn>0</mn>
 </mrow>
</math>.</li>
<li>Pour tout <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mi>z</mi>
  <mo>&#8712;</mo>
  <mi>&#8450;</mi>
 </mrow>
</math>, <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mrow>
    <mo>|</mo>
   <mrow>
    <mo>-</mo>
    <mi>z</mi>
   </mrow>
    <mo>|</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mrow>
    <mo>|</mo>
   <mi>z</mi>
    <mo>|</mo>
  </mrow>
 </mrow>
</math>.</li>
<li>Pour tout <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mi>z</mi>
  <mo>&#8712;</mo>
  <mi>&#8450;</mi>
 </mrow>
</math>, <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mrow>
    <mo>|</mo>
   <mover>
    <mi>z</mi>
    <mo>_</mo>
   </mover>
    <mo>|</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mrow>
    <mo>|</mo>
   <mi>z</mi>
    <mo>|</mo>
  </mrow>
 </mrow>
</math>.</li>
</ul>
</div>

<div class="wims_thm">
  <h4>Thorme</h4>
<ul>
<li>Soit <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mi>x</mi>
  <mo>&#8712;</mo>
  <mi>&#8477;</mi>
 </mrow>
</math>, <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mi>y</mi>
  <mo>&#8712;</mo>
  <mi>&#8477;</mi>
 </mrow>
</math> et \(z\) le nombre complexe dfini par <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mi>z</mi>
  <mo>=</mo>
  <mrow>
   <mi>x</mi>
   <mo>+</mo>
   <mrow>
    <mi fontstyle='normal'>i</mi>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mi>y</mi>
   </mrow>
  </mrow>
 </mrow>
</math>. <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML' display='block'>
 <mrow>
  <mrow>
   <mo>|</mo>
   <mi>z</mi>
   <mo>|</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <msqrt>
   <mrow>
    <msup>
     <mi>x</mi>
     <mn>2</mn>
    </msup>
    <mo>+</mo>
    <msup>
     <mi>y</mi>
     <mn>2</mn>
    </msup>
   </mrow>
  </msqrt>
 </mrow>
 <mi>.</mi>
</math>
</li>
<li>
Pour tout <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mi>z</mi>
  <mo>&#8712;</mo>
  <mi>&#8450;</mi>
 </mrow>
</math>, <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <msup>
   <mrow>
     <mo>|</mo>
    <mi>z</mi>
     <mo>|</mo>
   </mrow>
   <mn>2</mn>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <mrow>
   <mi>z</mi>
   <mo>&#8290;</mo>
   <mover>
    <mi>z</mi>
    <mo>_</mo>
   </mover>
  </mrow>
 </mrow>
</math>.
</li>
<li>Pour tous <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <msub>
   <mi>z</mi>
   <mn>1</mn>
  </msub>
  <mo>&#8712;</mo>
  <mi>&#8450;</mi>
 </mrow>
</math> et <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <msub>
   <mi>z</mi>
   <mn>2</mn>
  </msub>
  <mo>&#8712;</mo>
  <mi>&#8450;</mi>
 </mrow>
</math>, <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mrow>
   <semantics>
    <mo>|</mo>
    <annotation encoding='Mathematica'>&quot;\[LeftBracketingBar]&quot;</annotation>
   </semantics>
   <mrow>
    <msub>
     <mi>z</mi>
     <mn>1</mn>
    </msub>
    <mo>&#215;</mo>
    <msub>
     <mi>z</mi>
     <mn>2</mn>
    </msub>
   </mrow>
   <semantics>
    <mo>|</mo>
    <annotation encoding='Mathematica'>&quot;\[RightBracketingBar]&quot;</annotation>
   </semantics>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mrow>
   <mrow>
    <semantics>
     <mo>|</mo>
     <annotation encoding='Mathematica'>&quot;\[LeftBracketingBar]&quot;</annotation>
    </semantics>
    <msub>
     <mi>z</mi>
     <mn>1</mn>
    </msub>
    <semantics>
     <mo>|</mo>
     <annotation encoding='Mathematica'>&quot;\[RightBracketingBar]&quot;</annotation>
    </semantics>
   </mrow>
   <mo>&#215;</mo>
   <mrow>
    <semantics>
     <mo>|</mo>
     <annotation encoding='Mathematica'>&quot;\[LeftBracketingBar]&quot;</annotation>
    </semantics>
    <msub>
     <mi>z</mi>
     <mn>2</mn>
    </msub>
    <semantics>
     <mo>|</mo>
     <annotation encoding='Mathematica'>&quot;\[RightBracketingBar]&quot;</annotation>
    </semantics>
   </mrow>
  </mrow>
 </mrow>
</math>.</li>
<li>Pour tout <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mi>z</mi>
  <mo>&#8712;</mo>
  <msup>
   <mi>&#8450;</mi>
   <mo>*</mo>
  </msup>
 </mrow>
</math>, <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mrow>
    <mo>|</mo>
   <mfrac>
    <mn>1</mn>
    <mi>z</mi>
   </mfrac>
    <mo>|</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mfrac>
   <mn>1</mn>
   <mrow>
     <mo>|</mo>
    <mi>z</mi>
     <mo>|</mo>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mrow>
</math>.</li>
<li>Pour tous <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <msub>
   <mi>z</mi>
   <mn>1</mn>
  </msub>
  <mo>&#8712;</mo>
  <mi>&#8450;</mi>
 </mrow>
</math> et <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <msub>
   <mi>z</mi>
   <mn>2</mn>
  </msub>
  <mo>&#8712;</mo>
  <msup>
   <mi>&#8450;</mi>
   <mo>*</mo>
  </msup>
 </mrow>
</math>, <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mrow>
    <mo>|</mo>
   <mfrac>
    <msub>
     <mi>z</mi>
     <mn>1</mn>
    </msub>
    <msub>
     <mi>z</mi>
     <mn>2</mn>
    </msub>
   </mfrac>
    <mo>|</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mfrac>
   <mrow>
     <mo>|</mo>
    <msub>
     <mi>z</mi>
     <mn>1</mn>
    </msub>
     <mo>|</mo>
   </mrow>
   <mrow>
     <mo>|</mo>
    <msub>
     <mi>z</mi>
     <mn>2</mn>
    </msub>
     <mo>|</mo>
   </mrow>
  </mfrac>
 </mrow>
</math>.</li>
</ul>
</div>
