!!abstract,linked gloses,internal links,content,dynamic examples,...
!set gl_author=Euler, Acadmie de Versailles
!set gl_keywords=complex_number
!set gl_title=Forme exponentielle d'un nombre complexe non nul
!set gl_level=H6 S STI2D STL
:
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:
:
<div class="wims_defn">
  <h4>
      Dfinition 1 (exponentielle complexe)
    </h4>
  <div>
Soit <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'> <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi></math>
un nombre rel. On pose :</div>
<div class="wimscenter">
<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
  <msup>
   <mi fontstyle='normal'>e</mi>
   <mi fontstyle='normal'>i&#952;</mi>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <mrow>
    <mi>cos</mi>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
   <mo>+</mo>
    <mi fontstyle='normal'>i</mi>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mi>sin</mi>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
  </mrow>
</math>.</div>
</div>

<div class="wims_thm"><h4>Thorme 1</h4>

Soit <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <msub>
  <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
  <mn>1</mn>
 </msub>
</math>
et <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <msub>
  <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
  <mn>2</mn>
 </msub>
</math> deux nombres rels.<br/> Alors :</div>
<div class="wimscenter">
<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <msup>
   <mi fontstyle='normal'>e</mi>
   <mrow>
    <mi fontstyle='normal'>i</mi>
    <mo>&#8290;</mo>
     <mo>(</mo>
      <msub>
       <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
       <mn>1</mn>
      </msub>
      <mo>+</mo>
      <msub>
       <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
       <mn>2</mn>
      </msub>
     <mo>)</mo>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
   <msup>
    <mi fontstyle='normal'>e</mi>
    <msub>
     <mi fontstyle='normal'>i&#952;</mi>
     <mn>1</mn>
    </msub>
   </msup>
   <mo>&#8290;</mo>
   <msup>
    <mi fontstyle='normal'>e</mi>
    <msub>
     <mi fontstyle='normal'>i&#952;</mi>
     <mn>2</mn>
    </msub>
   </msup>
 </mrow>
</math>.
</div>

<div class="wims_defn"> <h4>Dfinition 2</h4>
Soit \(r\) un nombre rel strictement positif et &#952; un nombre rel.<br/>

Soit \(z\) le nombre complexe de module \(r\) et d'argument &#952;.<br/>
<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
<mrow>
   <mi>r</mi>
   <mo>&#8289;</mo>
   <msup>
   <mi fontstyle='normal'>e</mi>
   <mi fontstyle='normal'>i&#952;</mi>
  </msup>
   </mrow>
</math> est une <strong>forme exponentielle</strong> de \(z\).
</div>

<div class="wims_thm"> <h4>Thorme 2</h4>
Un complexe non nul \(z\) possde une infinit de formes exponentielles.<br/>
Si <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mi>r</mi>
  <mo>&#8290;</mo>

  <msup>
   <mi fontstyle='normal'>e</mi>
   <mi fontstyle='normal'>i&#952;</mi>
  </msup>
 </mrow>
</math> et <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <msup>
   <mi>r</mi>
   <mo>&#8242;</mo>
  </msup>
  <mo>&#8290;</mo>
  <msup>
   <mi fontstyle='normal'>e</mi>
   <msup>
    <mi fontstyle='normal'>i&#952;</mi>
    <mo>&#8242;</mo>
   </msup>
  </msup>
 </mrow>
</math> sont deux formes exponentielles de \(z\), alors
<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
   <mi>r</mi>
   <mo>=</mo>
   <msup><mi>r</mi>
   <mo>&#8242;</mo>
  </msup></mrow>
  </math> et il existe un entier relatif \(k\) tel que
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <msup>
   <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
   <mo>&#8242;</mo>
  </msup>
  <mo>=</mo>
   <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
   <mo>+</mo>
    <mn>2</mn>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mi>k</mi>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mi fontfamily='Times New Roman' fontstyle='normal'>&#960;</mi>
 </mrow>
</math>.
  </div>

 <div class="wims_thm"> <h4>Thorme 3</h4>
  Soit \(z\),
  <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <msub>
  <mi>z</mi>
  <mn>1</mn>
 </msub>
</math>,
<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <msub>
  <mi>z</mi>
  <mn>2</mn>
 </msub>
</math> trois nombres complexes non nuls de formes exponentielles respectives
<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mi>r</mi>
  <mo>&#8290;</mo>
  <msup>
   <mi fontstyle='normal'>e</mi>
   <mi fontstyle='normal'>i&#952;</mi>
  </msup>
 </mrow>
</math>,
<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <msub>
   <mi>r</mi>
   <mn>1</mn>
  </msub>
  <mo>&#8290;</mo>
  <msup>
   <mi fontstyle='normal'>e</mi>
   <msub>
    <mi fontstyle='normal'>i&#952;</mi>
    <mn>1</mn>
   </msub>
  </msup>
 </mrow>
</math> et
<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <msub>
   <mi>r</mi>
   <mn>2</mn>
  </msub>
  <mo>&#8290;</mo>
  <msup>
   <mi fontstyle='normal'>e</mi>
   <msub>
    <mi fontstyle='normal'>i&#952;</mi>
    <mn>2</mn>
   </msub>
  </msup>
 </mrow>
</math>. <br/>Alors : <ul>

<li> <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mfrac>
   <mn>1</mn>
   <mi>z</mi>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mrow>
   <mfrac>
    <mn>1</mn>
    <mi>r</mi>
   </mfrac>
   <mo>&#8290;</mo>
   <msup>
    <mi fontstyle='normal'>e</mi>
    <mrow>
     <mo>-</mo>
     <mi fontstyle='normal'>i&#952;</mi>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
 </mrow>
</math> </li>

<li> <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mrow>
   <msub>
    <mi>z</mi>
    <mn>1</mn>
   </msub>
   <mo>&#8290;</mo>
   <msub>
    <mi>z</mi>
    <mn>2</mn>
   </msub>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mrow>
   <msub>
    <mi>r</mi>
    <mn>1</mn>
   </msub>
   <mo>&#8290;</mo>
   <msub>
    <mi>r</mi>
    <mn>2</mn>
   </msub>
   <mo>&#8290;</mo>
   <msup>
    <mi fontstyle='normal'>e</mi><mrow>
     <mi fontstyle='normal'>i</mi>
     <mo>&#8290;</mo>
      <mo>(</mo>
       <msub>
        <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
        <mn>1</mn>
       </msub>
       <mo>+</mo>
       <msub>
        <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
        <mn>2</mn>
       </msub>
      <mo>)</mo></mrow>
   </msup>
  </mrow>
 </mrow>
</math></li>
<li><math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mfrac>
   <msub>
    <mi>z</mi>
    <mn>1</mn>
   </msub>
   <msub>
    <mi>z</mi>
    <mn>2</mn>
   </msub>
  </mfrac>
  <mo>=</mo>
  <mrow>
   <mfrac>
    <msub>
     <mi>r</mi>
     <mn>1</mn>
    </msub>
    <msub>
     <mi>r</mi>
     <mn>2</mn>
    </msub>
   </mfrac>
   <mo>&#8290;</mo>
   <msup>
    <mi fontstyle='normal'>e</mi>
    <mrow>
     <mi fontstyle='normal'>i</mi>
     <mo>&#8290;</mo>
      <mo>(</mo>
       <msub>
        <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
        <mn>1</mn>
       </msub>
       <mo>-</mo>
       <msub>
        <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
        <mn>2</mn>
       </msub>
      <mo>)</mo>
    </mrow>
   </msup>
  </mrow>
 </mrow></math></li>
<li>pour tout entier naturel \(n\), <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <msup>
   <mi>z</mi>
   <mi>n</mi>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <mrow>
   <msup>
    <mi>r</mi>
    <mi>n</mi>
   </msup>
   <mo>&#8290;</mo>
   <msup>
    <mi fontstyle='normal'>e</mi><mrow>
    <mi fontstyle='normal'>i</mi> <mi>n</mi> <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi></mrow>
   </msup>
  </mrow>
 </mrow>
</math>
  </li>

<li><math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mover>
   <mi>z</mi>
   <mi>&#8211;</mi>
  </mover>
  <mo>=</mo>
   <mi>r</mi>
   <mo>&#8290;</mo>
   <msup>
    <mi fontstyle='normal'>e</mi>
    <mrow>
     <mo>-</mo>
     <mi fontstyle='normal'>i&#952;</mi>
    </mrow>
   </msup>
 </mrow>
</math> </li>

<li><math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
   <mo>-</mo>
   <mi>z</mi>
  <mo>=</mo>
   <mi>r</mi>
   <mo>&#8290;</mo>
   <msup>
    <mi fontstyle='normal'>e</mi>
     <mrow><mi fontstyle='normal'>i</mi>
     <mo>&#8289;</mo>
     <mo>(</mo>
      <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
      <mo>+</mo>
      <mi fontstyle='normal' fontfamily='Times New Roman'>&#960;</mi>
     <mo>)</mo></mrow>
   </msup>
 </mrow>
</math> </li> </ul>
</div>
