!!abstract,linked gloses,internal links,content,dynamic examples,...
!set gl_author=Euler, Acadmie de Versailles
!set gl_keywords=complex_number
!set gl_title=Argument d'un nombre complexe non nul
!set gl_level=H5 STI2D STL, H6 S
:
:
:
:
<div class="wims_thm">
<h4>Thorme 1</h4>
Un nombre complexe \(z\) est de module 1 si et seulement si il existe un rel
<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
</math> tel que <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mi>z</mi>
  <mo>=</mo>
  <mrow>
   <mrow>
    <mi>cos</mi>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
   </mrow>
   <mo>+</mo>
   <mrow>
    <mi fontstyle='normal'>i</mi>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mi>sin</mi>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
   </mrow>
  </mrow>
 </mrow>
</math>.
</div>
<div class="wims_defn">
<h4>Dfinition 1</h4>
On appelle <strong>argument</strong> d'un nombre complexe \(z\) de module 1 tout nombre rel <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
</math> tel que <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mi>z</mi>
  <mo>=</mo>
  <mrow>
   <mrow>
    <mi>cos</mi>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
   </mrow>
   <mo>+</mo>
   <mrow>
    <mi fontstyle='normal'>i</mi>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mi>sin</mi>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
   </mrow>
  </mrow>
 </mrow>
</math>.<br/>
Il arrive qu'on note, par abus de langage, <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
  <mo>=</mo>
  <mrow>
   <mi>arg</mi>
   <mo>&#8289;</mo>
   <mo>(</mo>
   <mi>z</mi>
   <mo>)</mo>
  </mrow>
 </mrow>
</math>.
</div>
<div class="wims_thm">
<div>
<h4>Thorme 2</h4>
Le plan est muni d'un repre orthonormal direct <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mo>(</mo>
  <mrow>
   <mrow>
    <mi fontstyle='normal'>O</mi>
    <mo>;</mo>
    <mover>
     <mi>u</mi>
     <mo>&#8594;</mo>
    </mover>
   </mrow>
   <mo>,</mo>
   <mover>
    <mi>v</mi>
    <mo>&#8594;</mo>
   </mover>
  </mrow>
  <mo>)</mo>
 </mrow>
</math>.<br/>
Soit \(z\) un nombre complexe de module 1 et \(M\) le point d'affixe \(z\).</div>
<ul>
<li>L'ensemble des arguments de \(z\) est l'ensemble des mesures en radians de l'angle <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mo>(</mo>
  <mrow>
   <mover>
    <mi>u</mi>
    <mo>&#8594;</mo>
   </mover>
   <mo>;</mo>
   <mover>
    <mi>OM</mi>
    <mo>&#8594;</mo>
   </mover>
  </mrow>
  <mo>)</mo>
 </mrow>
</math>.
</li>
<li>Soit <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <msub>
  <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
  <mn>1</mn>
 </msub>
</math> un argument de \(z\).<br/>
<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <msub>
  <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
  <mn>2</mn>
 </msub>
</math> est un argument de \(z\) si et seulement si il existe un entier relatif \(k\) tel que <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <msub>
   <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
   <mn>2</mn>
  </msub>
  <mo>=</mo>
  <mrow>
   <msub>
    <mi fontstyle='normal'>&#952;</mi>
    <mn>1</mn>
   </msub>
   <mo>+</mo>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mi>k</mi>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mi fontstyle='normal' fontfamily='Times New Roman'>&#960;</mi>
   </mrow>
  </mrow>
 </mrow>
</math>.</li>
</ul>
</div>


<div class="wims_thm">
<div>
<h4>Thorme 3</h4>
Le plan est muni d'un repre orthonormal direct <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mo>(</mo>
  <mrow>
   <mrow>
    <mi fontstyle='normal'>O</mi>
    <mo>;</mo>
    <mover>
     <mi>u</mi>
     <mo>&#8594;</mo>
    </mover>
   </mrow>
   <mo>,</mo>
   <mover>
    <mi>v</mi>
    <mo>&#8594;</mo>
   </mover>
  </mrow>
  <mo>)</mo>
 </mrow>
</math>.</div>
<ul>
<li>
Pour tout nombre complexe non nul \(z\), il existe un unique nombre complexe <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <msub>
  <mi>z</mi>
  <mn>1</mn>
 </msub>
</math> de module 1 tel que <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mi>z</mi>
  <mo>=</mo>
  <mrow>
   <mrow>
    <semantics>
     <mo>|</mo>
     <annotation encoding='Mathematica'>&quot;\[LeftBracketingBar]&quot;</annotation>
    </semantics>
    <mi>z</mi>
    <semantics>
     <mo>|</mo>
     <annotation encoding='Mathematica'>&quot;\[RightBracketingBar]&quot;</annotation>
    </semantics>
   </mrow>
   <mo>&#8290;</mo>
   <msub>
    <mi>z</mi>
    <mn>1</mn>
   </msub>
  </mrow>
 </mrow>
</math>.
</li>
<li>
Soit \(z\) un nombre complexe non nul, <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <msub>
  <mi>z</mi>
  <mn>1</mn>
 </msub>
</math> le nombre complexe de module 1 tel que <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mi>z</mi>
  <mo>=</mo>
  <mrow>
   <mrow>
    <semantics>
     <mo>|</mo>
     <annotation encoding='Mathematica'>&quot;\[LeftBracketingBar]&quot;</annotation>
    </semantics>
    <mi>z</mi>
    <semantics>
     <mo>|</mo>
     <annotation encoding='Mathematica'>&quot;\[RightBracketingBar]&quot;</annotation>
    </semantics>
   </mrow>
   <mo>&#8290;</mo>
   <msub>
    <mi>z</mi>
    <mn>1</mn>
   </msub>
  </mrow>
 </mrow>
</math>.<br/>Si \(M\) et <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <msub>
  <mi fontstyle='normal'>M</mi>
  <mn>1</mn>
 </msub>
</math> sont les points d'affixes respectives \(z\) et <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <msub>
  <mi>z</mi>
  <mn>1</mn>
 </msub>
</math>, alors <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mrow>
   <mo>(</mo>
   <mrow>
    <mover>
     <mi>u</mi>
     <mo>&#8594;</mo>
    </mover>
    <mo>,</mo>
    <mover>
     <mi>OM</mi>
     <mo>&#8594;</mo>
    </mover>
   </mrow>
   <mo>)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mrow>
   <mrow>
    <mo>(</mo>
    <mrow>
     <mover>
      <mi>u</mi>
      <mo>&#8594;</mo>
     </mover>
     <mo>,</mo>
     <mover>
      <msub>
       <mi>OM</mi>
       <mn>1</mn>
      </msub>
      <mo>&#8594;</mo>
     </mover>
    </mrow>
    <mo>)</mo>
   </mrow>
   <mtext> </mtext>
   <mo>[</mo>
   <mrow>
    <mn>2</mn>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mi fontstyle='normal' fontfamily='Times New Roman'>&#960;</mi>
   </mrow>
   <mo>]</mo>
  </mrow>
 </mrow>
</math>.
</li>
</ul>
</div>
<div class="wims_defn">
<h4>Dfinition 2</h4>
Soit \(z\) un nombre complexe non nul, <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <msub>
  <mi>z</mi>
  <mn>1</mn>
 </msub>
</math> le nombre complexe de module 1 tel que <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mi>z</mi>
  <mo>=</mo>
  <mrow>
   <mrow>
    <semantics>
     <mo>|</mo>
     <annotation encoding='Mathematica'>&quot;\[LeftBracketingBar]&quot;</annotation>
    </semantics>
    <mi>z</mi>
    <semantics>
     <mo>|</mo>
     <annotation encoding='Mathematica'>&quot;\[RightBracketingBar]&quot;</annotation>
    </semantics>
   </mrow>
   <mo>&#8290;</mo>
   <msub>
    <mi>z</mi>
    <mn>1</mn>
   </msub>
  </mrow>
 </mrow>
</math>.<br/>
On appelle <strong>argument</strong> de \(z\) tout argument de <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <msub>
  <mi>z</mi>
  <mn>1</mn>
 </msub>
</math>.
</div>
<div class="wims_rem">
La notation <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mi>arg</mi>
  <mo>&#8289;</mo>
  <mo>(</mo>
  <mi>z</mi>
  <mo>)</mo>
 </mrow>
</math> dsigne n'importe quel argument du nombre complexe \(z\).<br/>
Un intervalle \(I\) semi-ouvert de longueur <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mn>2</mn>
  <mo>&#8290;</mo>
  <mi fontstyle='normal' fontfamily='Times New Roman'>&#960;</mi>
 </mrow>
</math> tant donn, on peut construire une fonction <em>Arg</em> qui,  tout nombre complexe non nul, associe celui de ses arguments qui appartient  l'intervalle \(I\).
</div>
<div class="wims_thm">
<div><h4>Thorme 4</h4>
Soit \(z\), <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <msub>
  <mi>z</mi>
  <mn>1</mn>
 </msub>
</math> et <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <msub>
  <mi>z</mi>
  <mn>2</mn>
 </msub>
</math> trois nombres complexes non nuls.</div>
<ul>
<li>
<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mrow>
   <mi>arg</mi>
   <mo>&#8289;</mo>
   <mo>(</mo>
   <mfrac>
    <mn>1</mn>
    <mi>z</mi>
   </mfrac>
   <mo>)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mrow>
   <mo>-</mo>
   <mrow>
    <mrow>
     <mi>arg</mi>
     <mo>&#8289;</mo>
     <mo>(</mo>
     <mi>z</mi>
     <mo>)</mo>
    </mrow>
    <mtext> </mtext>
    <mo>[</mo>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
     <mo>&#8290;</mo>
     <mi fontstyle='normal' fontfamily='Times New Roman'>&#960;</mi>
    </mrow>
    <mo>]</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mrow>
</math>
</li>
<li>
<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mrow>
   <mi>arg</mi>
   <mo>&#8289;</mo>
   <mo>(</mo>
   <mrow>
    <msub>
     <mi>z</mi>
     <mn>1</mn>
    </msub>
    <mo>&#8290;</mo>
    <msub>
     <mi>z</mi>
     <mn>2</mn>
    </msub>
   </mrow>
   <mo>)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mrow>
   <mrow>
    <mi>arg</mi>
    <mo>&#8289;</mo>
    <mo>(</mo>
    <msub>
     <mi>z</mi>
     <mn>1</mn>
    </msub>
    <mo>)</mo>
   </mrow>
   <mo>+</mo>
   <mrow>
    <mrow>
     <mi>arg</mi>
     <mo>&#8289;</mo>
     <mo>(</mo>
     <msub>
      <mi>z</mi>
      <mn>2</mn>
     </msub>
     <mo>)</mo>
    </mrow>
    <mtext> </mtext>
    <mo>[</mo>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
     <mo>&#8290;</mo>
     <mi fontstyle='normal' fontfamily='Times New Roman'>&#960;</mi>
    </mrow>
    <mo>]</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mrow>
</math>
</li>
<li>
<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mrow>
   <mi>arg</mi>
   <mo>&#8289;</mo>
   <mo>(</mo>
   <mfrac>
    <msub>
     <mi>z</mi>
     <mn>1</mn>
    </msub>
    <msub>
     <mi>z</mi>
     <mn>2</mn>
    </msub>
   </mfrac>
   <mo>)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mrow>
   <mrow>
    <mi>arg</mi>
    <mo>&#8289;</mo>
    <mo>(</mo>
    <msub>
     <mi>z</mi>
     <mn>1</mn>
    </msub>
    <mo>)</mo>
   </mrow>
   <mo>-</mo>
   <mrow>
    <mrow>
     <mi>arg</mi>
     <mo>&#8289;</mo>
     <mo>(</mo>
     <msub>
      <mi>z</mi>
      <mn>2</mn>
     </msub>
     <mo>)</mo>
    </mrow>
    <mtext> </mtext>
    <mo>[</mo>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
     <mo>&#8290;</mo>
     <mi fontstyle='normal' fontfamily='Times New Roman'>&#960;</mi>
    </mrow>
    <mo>]</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mrow>
</math>
</li>
<li>
pour tout entier naturel \(n\), <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mrow>
   <mi>arg</mi>
   <mo>&#8289;</mo>
   <mo>(</mo>
   <msup>
    <mi>z</mi>
    <mi>n</mi>
   </msup>
   <mo>)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mrow>
   <mi>n</mi>
   <mo>&#8290;</mo>
   <mrow>
    <mrow>
     <mi>arg</mi>
     <mo>&#8289;</mo>
     <mo>(</mo>
     <mi>z</mi>
     <mo>)</mo>
    </mrow>
    <mtext> </mtext>
    <mo>[</mo>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
     <mo>&#8290;</mo>
     <mi fontstyle='normal' fontfamily='Times New Roman'>&#960;</mi>
    </mrow>
    <mo>]</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mrow>
</math>
</li>
<li>
<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mrow>
   <mi>arg</mi>
   <mo>&#8289;</mo>
   <mo>(</mo>
   <mover>
    <mi>z</mi>
    <mo>_</mo>
   </mover>
   <mo>)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mrow>
   <mo>-</mo>
   <mrow>
    <mrow>
     <mi>arg</mi>
     <mo>&#8289;</mo>
     <mo>(</mo>
     <mi>z</mi>
     <mo>)</mo>
    </mrow>
    <mtext> </mtext>
    <mo>[</mo>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
     <mo>&#8290;</mo>
     <mi fontstyle="normal" fontfamily="Times New Roman">&#960;</mi>
    </mrow>
    <mo>]</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mrow>
</math>
</li>
<li><math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mrow>
   <mi>arg</mi>
   <mo>&#8289;</mo>
   <mo>(</mo>
   <mrow>
    <mo>-</mo>
    <mi>z</mi>
   </mrow>
   <mo>)</mo>
  </mrow>
  <mo>=</mo>
  <mrow>
   <mrow>
    <mi>arg</mi>
    <mo>&#8289;</mo>
    <mo>(</mo>
    <mi>z</mi>
    <mo>)</mo>
   </mrow>
   <mo>+</mo>
   <mrow>
    <mi fontstyle="normal" fontfamily="Times New Roman">&#960;</mi>
    <mtext> </mtext>
    <mo>[</mo>
    <mrow>
     <mn>2</mn>
     <mo>&#8290;</mo>
     <mi fontstyle="normal" fontfamily="Times New Roman">&#960;</mi>
    </mrow>
    <mo>]</mo>
   </mrow>
  </mrow>
 </mrow>
</math>.
</li>
</ul>
</div>
